FCTN-Decomposition

本周花了大量时间精读FCTN，还联系上了原作者郑博士，弄懂了论文中的公式推到部分。 同时这次的学习也将之前忽略的很多细节也抓了起来，比如参数复杂度、计算复杂度等等，不提高自己对公式的理解是没法提高论文的档次的，这篇文章的公式恰好不是很难，便于入门。

具体的细节都放在PPT里了，这里总结一下对这篇文章的梳理和理解。作者提出了Fully-Connected Tensor Network Decomposition（后面简称FCTN）方法，是基于常用张量网络TT、TR的创新，有以下两个主要优点

1. 能保证FCTN分解网络中任意两个张量的关联性
2. transpositional invariable

上述两个优点是TR或者TT所不具备的，TR和TN仅能保证相邻张量的关联性，并且只有在特殊情况下交换张量间的顺序才能保证收缩结果一致。而FCTN则可以容许任意的交换张量的收缩顺序，而结果始终保持一致。

后续作者又提出了一种基于FCTN的应用，那就是张量补全(tensor completion)，TC问题是张量网络经常面临的一种问题，可以用来处理数据点缺失的问题，可以应用到交通、视频补帧等实际生活中。作者按照一般性的思路，设计了FCTN-TC问题的目标函数，基于PAM求解器定义子问题中更新$\mathcal{G}_{k: N}^{(s)}, \mathcal{X}^{(s)}$的方式，随后给出了算法的伪代码，整个过程还是比较容易理解的。

随后作者将提出的FCTN-TC分别拿到虚构的和实际的数据集上去测试实践，用MSE和PSNR来评估图片恢复前后的效果，最后给出结论。在PPT中，我减少了背景知识的介绍，增加了对公式的推导和证明，并尽量用图片来展示计算和收缩过程，方便自己理解也方便其他人理解，下面是我阅读过程中的一些笔记和证明。

本来想结合代码印证一下的，没想到作者设了密码，下周一才能给我。我计划下周将论文Matlab代码拆解一下，讲给大家听，至于batch样本训练还没来得及写。下周也实验一下。