Unsupervised Learning TNCS

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简单看了一下这篇论文，它介绍了一种TNCS（Tensor network compressed sensing）算法来进行图片压缩。算法的思路是这样的：首先通过TN机器学习算法来将信息（或像素）投影到（也被称为波恩机）上，然后可以将它传递给对方，对方再进行解码还可以恢复到原本的整体数据，整个算法过程如下

算法能够将所有的像素存在量子概率分布中：

从上图可以看出，仅传递40个像素，就能将这个图片传递的差不多了，极大的减小了传输开销。

二、FRQI算法代码

FRQI算法代码以彩色图像为列，进行量子态映射，代码的整体过程是这样的。第一步，先对图片的每一个像素进行rgb三元素映射（映射公式如下所示）

$θ=π/2(r/16+g/16^2 +b/16^3 )$

其次，将表示像素的作为量子电路中cu3门的输入进行处理，设计的电路如下所示

其中，cu3门的算符代入参数后可以表示为

$\left[\begin{array}{rr} \cos \frac{\theta_{1}}{2} & -\sin \frac{\theta_{1}}{2} \\ \sin \frac{\theta_{1}}{2} & \cos \frac{\theta_{1}}{2} \end{array}\right]$

经过对这个电路的局部验证，最终能够与论文中提到的公式达成一致。我通过这次验证，也是较为清楚的理解了电路设计和实现的核心思想，从熊珏婵那里学到很多知识，验证过程如下：

可以看到这部分电路是基本组成，依次对各个套用这样的门电路处理，最终就能得到如下结果，即将图片的n个像素映射成为级别的qubit量子态来表示，极大的节省了空间，提高了处理效率

$\begin{array}{r} |I(\theta)\rangle=\frac{1}{2^{n}} \sum_{i=0}^{2^{2 n}-1}\left(\cos \theta_{i}|0\rangle+\sin \theta_{i}|1\rangle\right) \otimes|i\rangle \\ =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c} \left(\cos \theta_{0}|0\rangle+\sin \theta_{0}|1\rangle\right) \otimes|00\rangle+ \\ \left(\cos \theta_{1}|0\rangle+\sin \theta_{1}|1\rangle\right) \otimes|01\rangle+ \\ \left(\cos \theta_{2}|0\rangle+\sin \theta_{2}|1\rangle\right) \otimes|10\rangle+ \\ \left(\cos \theta_{3}|0\rangle+\sin \theta_{3}|1\rangle\right) \otimes|11\rangle \end{array}\right] \end{array}$

随之而来的一个问题就是，通过这样像素的映射，将对像素的操作转移到量子电路上来，能够对像素进行并行计算。**那么在将该映射方法套用到张量网络处理MNIST数据集时，如何将张量网络设计成处理电路？**这是一个比较重要的问题，一个关于将张量网络和量子态结合的问题。在tree
TN那篇文献的附加代码中，张量网络仍是基于传统电路的串行处理模式进行处理，接下来会继续回顾《Towards
quantum machine learning with tensor networks》这篇文章。

TTN那部分代码的测试集准确率仍比较低，最高达到90%，各种方法都尝试了，例如划分数据集、修改评估函数等，结果没有显著上升。我觉得能解决高维辅助指标的表示问题，或许能有所改善。

三、张量网络基础课程

3.1 张量网络的基本定义

张量网络其实表示一个大的张量，这个大张量的指标其实就是张量网络中的物理指标。一个高阶张量可以被表示成不同的张量网络，如下图

闭合张量网络：将张量网络中的所有几何指标求和之后表示一个标量，这类网络可以用来表示一大类问题，例如格点模型的配分函数，量子多体态的观测量等

3.2 张量网络的低秩近似

解决如下问题：在如下给定的张量网络中，如何裁减某一个几何指标的维数，使得裁减前后的误差极小？

一种可行的方案就是，将将张量网络reshape成一个大矩阵，矩阵的横向是s1,s2指标，纵向是s3,s4,s5指标，然后进行SVD分解（这样可能会改变网络结构）

另一种方案是引入非方的裁减矩阵（），与连接待裁减指标的张量进行收缩，实现该指标的维数裁减。

那么如何计算裁减矩阵呢，视频中给出了两种方法：

1. 通过规范变化，将张量网络变换为中心正交形式，正交中心为连接待裁减指标的两个张量中的一个

2. 对正交中心的张量进行奇异值分解，由前个奇异向量构成，且