图片映射+TEBD+DMRG

矩阵乘积态MPS表达多体系统基态

TT分解的过程： 已知一个基态对应的高阶张量的样子，然后经过TT分解得到MPS态。
而MPS的关键在于，我们在不知道指数复杂的量子态系数是什么，也不需要TT分解，而是直接**假设基态具有MPS的形式，直接处理MPS中的局域张量，**从而绕过了指数墙的问题。

MPS的形式可以进行变换

同一个量子态可以用不同的tensor进行表达，这种变换称为规范变换

如何验证不同的规范变换表示同一个量子态呢？

答：将两者都变换成中心正交形式的MPS态，两者变换结果一致说明同一个量子态

如何将图片映射为张量网络

视频中使用的代码和示例都是采用的虚拟数据（无实际含义），通过裁减误差来刻画算法的性能。而将该算法实际运用到生活中时则涉及到很多的表示问题，我们对图片过去的印象是它是一个**四阶张量，**即（samples,
height, width,
channels），以此为输入可以完成很多的工作。可是当我们对单张图片进行张量网络优化时，就会出现表示难题。仍可以从图片各个指标的角度逐步将其拆解，组合成各种各样结构的网络。如下图

TEBD算法：

对于一个W*H的张量网络，在规定求和的顺序后可以将它严格求出。当W或H比较大的时候，这个张量网络的复杂度就呈指数级别增长，传统计算机不能在有效时间内给出结果。而TEBD就是一种基于矩阵乘积态的、近似收缩张量网络的数值算法。

主要思路：从处于边界的张量构成的MPS开始，一行一行（或一列一列）地收缩张量网络。

TEBD的计算方案并不唯一，它可以采用MPO的形式，逐层进行求和。也可以采用张量

TEBD算法计算基态的思路是退火，而密度矩阵重整化（DMRG）采取的是另一种思路：

基于最大本征态求解对应的最优化问题，即求解如下极小化问题

DMRG算法

DMRG的策略是更新各个张量，使能量达到极小，具体的更新策略不唯一。在单点（one-site）DMRG中，每次更新MPS中的一个张量，其余张量看成是给定的参数。单个张量的优化问题可以等价为局域矩阵的最大本征值问题。

有效哈密顿量h2的能量就能用如上的公式和张量网络图来表示。由于它采用的是（Alternating
Least Square,
ALS的方法），故需要反复的迭代更新A1，A2….各个张量，这个地方一般迭代50多次就可以收敛了，计算复杂度线性增加，不会出现指数爆炸问题。同时在计算过程中，可以通过移动正交中心简化计算。

张量网络态与深度学习的交融

深度学习在物理方面的应用：

• 表示量子多体波函数：RBM

• 探测相位过渡

• 蒙特卡罗模拟加速：Self-learning

• 辅助材料的合成

• 张量网络的优化

量子多体物理在DL中的应用

• 发掘神经网络的新结构

• 生成模型新的表示方法

• 光学神经网络

一般性的深度神经网络结构图如下所示，包含了**输入层、多个隐藏层、输出层。中间通过各种各样的线性变换和非线性变换。
**最终不断地训练参数，从而找到某个问题的最优近似解。这里有两个定理

1. 神经网络能够以任意精度逼近所求问题的解，也就是神经网络层数或者神经元个数可以无限延伸

2. 没有免费午餐理论，虽然能够有很强的表示能力，但不一定能找到最优结构

神经网络结构和张量网络的对应，请看下图，张量网络毫无压力的可以表示多层神经网络结构！通过对MPS态的进一步优化就可以实现对网络结构的优化，这种方式极大的减少了神经网络的权重参数。

同时作者通过大量的实验表示通过MPS结构进行的训练准确率与原神经网络结构基本一致，但是极大地减少了参数个数，优化了网络结构。

算法代码实现

本周实现了基于约化密度矩阵的K2DPCA算法处理图像数据，并且在原先水平方向等距约化的基础上增加了垂直方向的处理。

其中水平方向处理如下图所示

垂直方向处理如下图所示

综合水平与垂直方向的处理如下图所示

接下来的实现思路就是通过2-3次这样的矩阵约化，来降低图片的维数，最后通过张量平均的方式代入运算，降低误差。